Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
PONTO: estrela no céu, pingo de caneta, furo de agulha num papel,
Notações de Ponto, Reta e Plano
As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma: Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
Observação: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto.
Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.
As expressões "infinitos pontos" ou "infinitas retas", significam "tantos pontos ou retas quantas você desejar".
Pontos Colineares e semi-retas
Pontos colineares
São pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.
Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
O ponto A é a origem da semi-reta que contém os pontos A e B e também é a origem da semi-reta que contém os pontos A e C, nas duas figuras ao lado.
A semi-reta que contém os pontos A e B e a semi-reta que contém os pontos A e C são semi-retas opostas. A notação XY para uma semi-reta significa uma semi-reta que contém os pontos X e Y.
As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.
Segmentos de Reta: Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes
Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.
Segmentos Consecutivos
Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outroAB e BC
MN e NP
EF e GH
Segmentos Colineares
Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.
AB e CD
MN e NP
são colineares
EF e FG
Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:
Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares
Os segmentos de reta EF e FG são consecutivos, mas não são colineares
Segmentos Congruentes
Dois segmentos são congruentes quando têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de congruência.
Segmentos Adjacentes
Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum.
MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.
Ponto Médio de um segmento
M é o ponto médio do segmento de reta AB, se M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes, ou seja, AM~MB. O ponto médio é o ponto de equilíbrio de um segmento de reta.
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